概要：空间向量及其应用 一.课标要求: (1)空间向量及其运算 ① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程; ② 了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示; ③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示; ④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 (2)空间向量的应用 ① 理解直线的方向向量与平面的法向量; ② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系; ③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(包括三垂线定理); ④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题,体会向量方法在研究几何问题中的作用。 二.命题走向 本讲内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本讲是立体几何的核心内容,高考对本讲的考察形式为:以客观题形式考察空间向量的概念和运算,结合主观题借助空间向量求夹角和距离。 预测07年高考对本讲内容的考查将侧重于向量的应用,尤其是求夹角、求距离,教材上淡化
空间向量及其应用,标签：高三数学复习教案,高三数学复习课教案,http://www.67jx.com空间向量及其应用
一.课标要求:(1)空间向量及其运算
① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程;
② 了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示;
③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示;
④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。
(2)空间向量的应用
① 理解直线的方向向量与平面的法向量;
② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系;
③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(包括三垂线定理);
④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题,体会向量方法在研究几何问题中的作用。
二.命题走向
本讲内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本讲是立体几何的核心内容,高考对本讲的考察形式为:以客观题形式考察空间向量的概念和运算,结合主观题借助空间向量求夹角和距离。
预测07年高考对本讲内容的考查将侧重于向量的应用,尤其是求夹角、求距离,教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解,加大了向量的应用,因此作为立体几何解答题,用向量法处理角和距离将是主要方法,在复习时应加大这方面的训练力度。
三.要点精讲
1.空间向量的概念
向量:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。
相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
表示方法:用有向线段表示,并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。
说明:①由相等向量的概念可知,一个向量在空间平移到任何位置,仍与原来的向量相等,用同向且等长的有向线段表示;②平面向量仅限于研究同一平面内的平移,而空间向量研究的是空间的平移。
2.向量运算和运算率
加法交换率:
加法结合率:
数乘分配率:
说明:①引导学生利用右图验证加法交换率,然后推广到首尾相接的若干向量之和;②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。
3.平行向量(共线向量):如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量。 平行于 记作 ∥ 。
注意:当我们说 、 共线时,对应的有向线段所在直线可能是同一直线,也可能是平行直线;当我们说 、 平行时,也具有同样的意义。
共线向量定理:对空间任意两个向量 ( ≠ )、 , ∥ 的充要条件是存在实数 使 =
注:⑴上述定理包含两个方面:①性质定理:若 ∥ ( ≠0),则有 = ,其中 是唯一确定的实数。②判断定理:若存在唯一实数 ,使 = ( ≠0),则有 ∥ (若用此结论判断 、 所在直线平行,还需 (或 )上有一点不在 (或 )上)。
⑵对于确定的 和 , = 表示空间与 平行或共线,长度为 | |,当 >0时与 同向,当 <0时与 反向的所有向量。
⑶若直线l∥ , ,P为l上任一点,O为空间任一点,下面根据上述定理来推导 的表达式。
推论:如果 l为经过已知点A且平行于已知非零向量 的直线,那么对任一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,满足等式
①
其中向量 叫做直线l的方向向量。
在l上取 ,则①式可化为 ②
当 时,点P是线段AB的中点,则 ③
①或②叫做空间直线的向量参数表示式,③是线段AB的中点公式。
注意:⑴表示式(﹡)、(﹡﹡)既是表示式①,②的基础,也是常用的直线参数方程的表示形式;⑵推论的用途:解决三点共线问题。⑶结合三角形法则记忆方程。