概要： 若 与 共线, 与 共线,则 与 共线; 向量 共面就是它们所在的直线共面; 零向量没有确定的方向; 若 ,则存在唯一的实数 使得 ; 解析:A中向量 为零向量时要注意,B中向量的共线、共面与直线的共线、共面不一样,D中需保证 不为零向量。 答案C。 点评:零向量是一个特殊的向量,时刻想着零向量这一特殊情况对解决问题有很大用处。像零向量与任何向量共线等性质,要兼顾。 题型2:空间向量的基本运算 例3.如图:在平行六面体 中, 为 与 的交点。若 , , ,则下列向量中与 相等的向量是( ) 解析:显然 ; 答案为A。 点评:类比平面向量表达平面位置关系过程,掌握好空间向量的用途。用向量的方法处理立体几何问题,使复杂的线面空间关系代数化,本题考查的是基本的向量相等,与向量的加法.考查学生的空间想象能力。 例4.已知: 且 不共面.若 ∥ ,求 的值. 解: ∥ ,,且 即 又 不共面, 点评:空间向量在运算时,注意到如何实施空间向量共线定理
空间向量及其应用,标签：高三数学复习教案,高三数学复习课教案,http://www.67jx.com若 与 共线, 与 共线,则 与 共线;
向量 共面就是它们所在的直线共面;
零向量没有确定的方向;
若 ,则存在唯一的实数 使得 ;
解析:A中向量 为零向量时要注意,B中向量的共线、共面与直线的共线、共面不一样,D中需保证 不为零向量。
答案C。
点评:零向量是一个特殊的向量,时刻想着零向量这一特殊情况对解决问题有很大用处。像零向量与任何向量共线等性质,要兼顾。
题型2:空间向量的基本运算
例3.如图:在平行六面体 中, 为 与 的交点。若 , , ,则下列向量中与 相等的向量是( )
解析:显然 ;
答案为A。
点评:类比平面向量表达平面位置关系过程,掌握好空间向量的用途。用向量的方法处理立体几何问题,使复杂的线面空间关系代数化,本题考查的是基本的向量相等,与向量的加法.考查学生的空间想象能力。
例4.已知: 且 不共面.若 ∥ ,求 的值.
解: ∥ ,,且 即
又 不共面,
点评:空间向量在运算时,注意到如何实施空间向量共线定理。
题型3:空间向量的坐标
例5.(1)已知两个非零向量 =(a1,a2,a3), =(b1,b2,b3),它们平行的充要条件是( )
A. :| |= :| | B.a1·b1=a2·b2=a3·b3
C.a1b1+a2b2+a3b3=0 D.存在非零实数k,使 =k
(2)已知向量 =(2,4,x), =(2,y,2),若| |=6, ⊥ ,则x+y的值是( )
A. -3或1 B.3或-1 C. -3 D.1
(3)下列各组向量共面的是( )
A. =(1,2,3), =(3,0,2), =(4,2,5)
B. =(1,0,0), =(0,1,0), =(0,0,1)
C. =(1,1,0), =(1,0,1), =(0,1,1)
D. =(1,1,1), =(1,1,0), =(1,0,1)
解析:(1)D;点拨:由共线向量定线易知;
(2)A 点拨:由题知 或 ;
(3)A 点拨:由共面向量基本定理可得。
点评:空间向量的坐标运算除了数量积外就是考察共线、垂直时参数的取值情况。
例6.已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4)。设 = , = ,(1)求 和 的夹角 ;(2)若向量k + 与k -2 互相垂直,求k的值.
思维入门指导:本题考查向量夹角公式以及垂直条件的应用,套用公式即可得到所要求的结果.
解:∵A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4), = , = ,
∴ =(1,1,0), =(-1,0,2).
(1)cos = = - ,
∴ 和 的夹角为- 。
(2)∵k + =k(1,1,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2),
k -2 =(k+2,k,-4),且(k + )⊥(k -2 ),
∴(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=(k-1)(k+2)+k2-8=2k2+k-10=0。
则k=- 或k=2。
点拨:第(2)问在解答时也可以按运算律做。( + )(k -2 )=k2 2-k · -2 2=2k2+k-10=0,解得k=- ,或k=2。
题型4:数量积
例7.(2000江西、山西、天津理,4)设 、 、c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则
①( · ) -( · ) = ②| |-| |<| - | ③( · ) -( · ) 不与 垂直
④(3 +2 )(3 -2 )=9| |2-4| |2中,是真命题的有( )
A.①② B.②③ C.③④ D.②④