概要： 答案:D 解析:①平面向量的数量积不满足结合律.故①假; ②由向量的减法运算可知| |、| |、| - |恰为一个三角形的三条边长,由"两边之差小于第三边",故②真; ③因为[( · ) -( · ) ]· =( · ) · -( · ) · =0,所以垂直.故③假; ④(3 +2 )(3 -2 )=9· · -4 · =9| |2-4| |2成立.故④真. 点评:本题考查平面向量的数量积及运算律。 例8.(1)(2009上海文,理2)已知向量 和 的夹角为120°,且| |=2,| |=5,则(2 - )· =_____. (2)设空间两个不同的单位向量 =(x1,y1,0), =(x2,y2,0)与向量 =(1,1,1)的夹角都等于 。(1)求x1+y1和x1y1的值;(2)求< , >的大小(其中0<< , ><π 。 解析:(1)答案:13;解析:∵(2 - )· =2 2- · =2| |2-| |·| |·cos120°=2
空间向量及其应用,标签：高三数学复习教案,高三数学复习课教案,http://www.67jx.com答案:D
解析:①平面向量的数量积不满足结合律.故①假;
②由向量的减法运算可知| |、| |、| - |恰为一个三角形的三条边长,由"两边之差小于第三边",故②真;
③因为[( · ) -( · ) ]· =( · ) · -( · ) · =0,所以垂直.故③假;
④(3 +2 )(3 -2 )=9· · -4 · =9| |2-4| |2成立.故④真.
点评:本题考查平面向量的数量积及运算律。
例8.(1)(2009上海文,理2)已知向量 和 的夹角为120°,且| |=2,| |=5,则(2 - )· =_____.
(2)设空间两个不同的单位向量 =(x1,y1,0), =(x2,y2,0)与向量 =(1,1,1)的夹角都等于 。(1)求x1+y1和x1y1的值;(2)求< , >的大小(其中0<< , ><π 。
解析:(1)答案:13;解析:∵(2 - )· =2 2- · =2| |2-| |·| |·cos120°=2·4-2·5(- )=13。
(2)解:(1)∵| |=| |=1,∴x +y =1,∴x =y =1.
又∵ 与 的夹角为 ,∴ · =| || |cos = = .
又∵ · =x1+y1,∴x1+y1= 。
另外x +y =(x1+y1)2-2x1y1=1,∴2x1y1=( )2-1= .∴x1y1= 。
(2)cos< , >= =x1x2+y1y2,由(1)知,x1+y1= ,x1y1= .∴x1,y1是方程x2- x+ =0的解.
∴ 或 同理可得 或
∵ ≠ ,∴ 或
∴cos< , >= · + · = + = .
∵0≤< , >≤π,∴< , >= 。
评述:本题考查向量数量积的运算法则。
题型5:空间向量的应用
例9.(1)已知a、b、c为正数,且a+b+c=1,求证: + + ≤4 。
(2)已知F1=i+2j+3k,F2=-2i+3j-k,F3=3i-4j+5k,若F1,F2,F3共同作用于同一物体上,使物体从点M1(1,-2,1)移到点M2(3,1,2),求物体合力做的功。
解析:(1)设 =( , , ), =(1,1,1),
则| |=4,| |= .
∵ · ≤| |·| |,
∴ · = + + ≤| |·| |=4 .
当 = = 时,即a=b=c= 时,取"="号。
(2)解:W=F·s=(F1+F2+F3)· =14。
点评:若 =(x,y,z), =(a,b,c),则由 · ≤| |·| |,得(ax+by+cz)2≤(a2+b2+c2)(x2+y2+z2).此式又称为柯西不等式(n=3)。本题考查| |·| |≥ · 的应用,解题时要先根据题设条件构造向量 , ,然后结合数量积性质进行运算。空间向量的数量积对应做功问题。
例10.如图,直三棱柱 中, 求证:
证明:
同理
又
设 为 中点,则
又
点评:从上述例子可以看出,利用空间向量来解决位置关系问题,要用到空间多边形法则,向量的运算,数量积以及平行,相等和垂直的条件。
五.思维总结
本讲内容主要有空间直角坐标系,空间向量的坐标表示,空间向量的坐标运算,平行向量,垂直向量坐标之间的关系以及中点公式.空间直角坐标系是选取空间任意一点O和一个单位正交基底{i,j,k}建立坐标系,对于O点的选取要既有作图的直观性,而且使各点的坐标,直线的坐标表示简化,要充分利用空间图形中已有的直线的关系和性质;空间向量的坐标运算同平面向量类似,具有类似的运算法则.一个向量在不同空间的表达方式不一样,实质没有改变.因而运算的方法和运算规律结论没变。如向量的数量积a·b=|a|·|b|cos<a,b>在二维、三维都是这样定义的,不同点仅是向量在不同空间具有不同表达形式.空间两向量平行时同平面两向量平行时表达式不一样,但实质是一致的,即对应坐标成比例,且比值为 ,对于中点公式要熟记。
对本讲内容的考查主要分以下三类:
1.以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质
此类题一般难度不大,用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题。
2.向量在空间中的应用
在空间坐标系下,通过向量的坐标的表示,运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质。
在复习过程中,抓住源于课本,高于课本的指导方针。本讲考题大多数是课本的变式题,即源于课本。因此,掌握双基、精通课本是本章关键。