概要：充要条件与反证法 ●知识梳理 1.充分条件:如果p q,则p叫q的充分条件,原命题(或逆否命题)成立,命题中的条件是充分的,也可称q是p的必要条件. 2.必要条件:如果q p,则p叫q的必要条件,逆命题(或否命题)成立,命题中的条件为必要的,也可称q是p的充分条件. 3.充要条件:如果既有p q,又有q p,记作p q,则p叫做q的充分必要条件,简称充要条件,原命题和逆命题(或逆否命题和否命题)都成立,命题中的条件是充要的. 4.反证法:当直接证明有困难时,常用反证法. ●点击双基 1.ac2>bc2是a>b成立的 A.充分而不必要条件 B.充要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析:a>b ac2>bc2,如c=0. 答案:A 2.(2009年湖北,理4)已知a、b、c为非零的平面向量.甲:a·b=a·c,乙:b=c,则 A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
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●知识梳理1.充分条件:如果p q,则p叫q的充分条件,原命题(或逆否命题)成立,命题中的条件是充分的,也可称q是p的必要条件.
2.必要条件:如果q p,则p叫q的必要条件,逆命题(或否命题)成立,命题中的条件为必要的,也可称q是p的充分条件.
3.充要条件:如果既有p q,又有q p,记作p q,则p叫做q的充分必要条件,简称充要条件,原命题和逆命题(或逆否命题和否命题)都成立,命题中的条件是充要的.
4.反证法:当直接证明有困难时,常用反证法.
●点击双基
1.ac2>bc2是a>b成立的
A.充分而不必要条件 B.充要条件
C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
解析:a>b ac2>bc2,如c=0.
答案:A
2.(2009年湖北,理4)已知a、b、c为非零的平面向量.甲:a·b=a·c,乙:b=c,则
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
解析:命题甲:a·b=a·c a·(b-c)=0 a=0或b=c.
命题乙:b=c,因而乙 甲,但甲 乙.
故甲是乙的必要条件但不是充分条件.
答案:B
3.(2009年浙江,8)在△ABC中,"A>30°"是"sinA> "的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:在△ABC中,A>30° 0<sinA<1 sinA> ,sinA> 30°<A<150°
A>30°.
∴"A>30°"是"sinA> "的必要不充分条件.
答案:B
4.若条件p:a>4,q:5<a<6,则p是q的______________.
解析:a>4 5<a<6,如a=7虽然满足a>4,但显然a不满足5<a<6.
答案:必要不充分条件
5.(2009年春季上海,16)若a、b、c是常数,则"a>0且b2-4ac<0"是"对任意x∈R,有ax2+bx+c>0"的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:若a>0且b2-4ac<0,则对任意x∈R,有ax2+bx+c>0,反之,则不一定成立.如a=0,b=0且c>0时,也有对任意x∈R,有ax2+bx+c>0.因此应选A.
答案:A
●典例剖析
【例1】 使不等式2x2-5x-3≥0成立的一个充分而不必要条件是
A.x<0 B.x≥0
C.x∈{-1,3,5} D.x≤- 或x≥3
剖析:∵2x2-5x-3≥0成立的充要条件是x≤- 或x≥3,∴对于A当x=- 时 2x2-5x-3≥0.同理其他也可用特殊值验证.
答案:C
【例2】 求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一根为1的充分必要条件是a+b+c=0.
证明:(1)必要性,即"若x=1是方程ax2+bx+c=0的根,则a+b+c=0".
∵x=1是方程的根,将x=1代入方程,得a·12+b·1+c=0,即a+b+c=0.
(2)充分性,即"若a+b+c=0,则x=1是方程ax2+bx+c=0的根".
把x=1代入方程的左边,得a·12+b·1+c=a+b+c.∵a+b+c=0,∴x=1是方程的根.
综合(1)(2)知命题成立.
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