概要： 求ax2+2x+1=0(a≠0)至少有一负根的充要条件. 证明:必要性: (1)方程有一正根和一负根,等价于 a<0. (2)方程有两负根,等价于 0<a≤1. 综上可知,原方程至少有一负根的必要条件是a<0或0<a≤1. 充分性:由以上推理的可逆性,知当a<0时方程有异号两根;当0<a≤1时,方程有两负根.故a<0或0<a≤1是方程ax2+2x+1=0至少有一负根的充分条件. 答案:a<0或0<a≤1. 【例3】 下列说法对不对?如果不对,分析错误的原因. (1)x2=x+2是x =x2的充分条件; (2)x2=x+2是x =x2的必要条件. 解:(1)x2=x+2是x =x2的充分条件是指x2=x+2 x =x2. 但这里" "不成立,因为x=-1时," "左边为真,但右边为假.得出错误结论的原因可能是应用了错误的推理: x2=x+2 x= x2=x
充要条件与反证法,标签：高三数学复习教案,高三数学复习课教案,http://www.67jx.com求ax2+2x+1=0(a≠0)至少有一负根的充要条件.
证明:必要性:
(1)方程有一正根和一负根,等价于
a<0.
(2)方程有两负根,等价于
0<a≤1.
综上可知,原方程至少有一负根的必要条件是a<0或0<a≤1.
充分性:由以上推理的可逆性,知当a<0时方程有异号两根;当0<a≤1时,方程有两负根.故a<0或0<a≤1是方程ax2+2x+1=0至少有一负根的充分条件.
答案:a<0或0<a≤1.
【例3】 下列说法对不对?如果不对,分析错误的原因.
(1)x2=x+2是x =x2的充分条件;
(2)x2=x+2是x =x2的必要条件.
解:(1)x2=x+2是x =x2的充分条件是指x2=x+2 x =x2.
但这里" "不成立,因为x=-1时," "左边为真,但右边为假.得出错误结论的原因可能是应用了错误的推理:
x2=x+2 x= x2=x .
这里推理的第一步是错误的(请同学补充说明具体错在哪里).
(2)x2=x+2是x =x2的必要条件是指x =x2 x2=x+2.
但这里" "不成立,因为x=0时," "左边为真,但右边为假.得出错误结论的原因可能是用了错误的推理:
x =x2 =x x+2=x2.
这里推理的第一步是错误的(请同学补充说明具体错在哪里).
评述:此题的解答比较注重逻辑推理.事实上,也可以从真值集合方面来分析:x2=x+2的真值集合是{-1,2},x =x2的真值集合是{0,2},{-1,2} {0,2},而{0,2} {-1,2},所以(1)(2)两个结论都不对.
●闯关训练
夯实基础
1.(2009年重庆,7)已知p是r的充分不必要条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,那么p是q成立的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:依题意有p r,r s,s q,∴p r s q.但由于r p,∴q p.
答案:A
2.(2009年北京高考题)"cos2α=- "是"α=kπ+ ,k∈Z"的
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件
解析:cos2α=- 2α=2kπ± α=kπ± .
答案:A
3.(2009年海淀区第一学期期末练习)在△ABC中,"A>B"是"cosA<cosB"的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:在△ABC中,A>B cosA<cosB(余弦函数单调性).
答案:C
4.命题A:两曲线F(x,y)=0和G(x,y)=0相交于点P(x0,y0),命题B:曲线F(x,y)+λG(x,y)=0(λ为常数)过点P(x0,y0),则A是B的__________条件.
答案:充分不必要
5.(2009年北京,5)函数f(x)=x2-2ax-3在区间[1,2]上存在反函数的充分必要条件是
A.a∈(-∞,1] B.a∈[2,+∞)
C.α∈[1,2] D.a∈(-∞,1]∪[2,+∞)
解析:∵f(x)=x2-2ax-3的对称轴为x=a,∴y=f(x)在[1,2]上存在反函数的充要条件为[1,2] (-∞,a]或[1,2] [a,+∞),即a≥2或a≤1.
答案:D
6.已知数列{an}的前n项和Sn=pn+q(p≠0且p≠1),求数列{an}成等比数列的充要条件.
分析:先根据前n项和公式,导出使{an}为等比数列的必要条件,再证明其充分条件.