概要： 例4.(1)(06天津卷)用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字的五位数,则其中数字1,2相邻的偶数有 个(用数字作答); (2)(06上海春)电视台连续播放6个广告,其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告,要求首尾必须播放公益广告,则共有 种不同的播放方式(结果用数值表示). 解析:(1)可以分情况讨论:① 若末位数字为0,则1,2,为一组,且可以交换位置,3,4,各为1个数字,共可以组成 个五位数;② 若末位数字为2,则1与它相邻,其余3个数字排列,且0不是首位数字,则有 个五位数;③ 若末位数字为4,则1,2,为一组,且可以交换位置,3,0,各为1个数字,且0不是首位数字,则有 =8个五位数,所以全部合理的五位数共有24个。 (2)分二步:首尾必须播放公益广告的有A22种;中间4个为不同的商业广告有A44种,从而应当填 A22·A44=48. 从而应填48。 点评:排列问题不可能解决所有问题,对于较复杂的问题都是以排列公式为辅助。 题型三:组合问题 例5.(1)(06
排列、组合、二项式定理教案2,标签：高三数学复习教案,高三数学复习课教案,http://www.67jx.com例4.(1)(06天津卷)用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字的五位数,则其中数字1,2相邻的偶数有 个(用数字作答);
(2)(06上海春)电视台连续播放6个广告,其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告,要求首尾必须播放公益广告,则共有 种不同的播放方式(结果用数值表示).
解析:(1)可以分情况讨论:① 若末位数字为0,则1,2,为一组,且可以交换位置,3,4,各为1个数字,共可以组成 个五位数;② 若末位数字为2,则1与它相邻,其余3个数字排列,且0不是首位数字,则有 个五位数;③ 若末位数字为4,则1,2,为一组,且可以交换位置,3,0,各为1个数字,且0不是首位数字,则有 =8个五位数,所以全部合理的五位数共有24个。
(2)分二步:首尾必须播放公益广告的有A22种;中间4个为不同的商业广告有A44种,从而应当填 A22·A44=48. 从而应填48。
点评:排列问题不可能解决所有问题,对于较复杂的问题都是以排列公式为辅助。
题型三:组合问题
例5.(1)(06重庆卷)将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班至少1名,最多2名,则不同的分配方案有( )
(A)30种 (B)90种 (C)180种 (D)270种
(2)(06天津卷)将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里,使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号,则不同的放球方法有( )
A.10种 B.20种 C.36种 D.52种
解析:(1)将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班至少1名,最多2名,则将5名教师分成三组,一组1人,另两组都是2人,有 种方法,再将3组分到3个班,共有 种不同的分配方案,选B;
(2)将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里,使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号,分情况讨论:①1号盒子中放1个球,其余3个放入2号盒子,有 种方法;②1号盒子中放2个球,其余2个放入2号盒子,有 种方法;则不同的放球方法有10种,选A。
点评:计数原理是解决较为复杂的排列组合问题的基础,应用计数原理结合
例6.(1)(06陕西卷)某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,则不同的选派方案共有 种;
(2)(06全国II)5名志愿者分到3所学校支教,每个学校至少去一名志愿者,则不同的分派方法共有( )
(A)150种 (B)180种 (C)200种 (D)280种
解析:(1)可以分情况讨论,① 甲去,则乙不去,有 =480种选法;②甲不去,乙去,有 =480种选法;③甲、乙都不去,有 =360种选法;共有1320种不同的选派方案;
(2)人数分配上有1,2,2与1,1,3两种方式,若是1,2,2,则有 =60种,若是1,1,3,则有 =90种,所以共有150种,选A。
点评:排列组合的交叉使用可以处理一些复杂问题,诸如分组问题等;
题型4:排列、组合的综合问题
例7.平面上给定10个点,任意三点不共线,由这10个点确定的直线中,无三条直线交于同一点(除原10点外),无两条直线互相平行。求:(1)这些直线所交成的点的个数(除原10点外)。(2)这些直线交成多少个三角形。
解法一:(1)由题设这10点所确定的直线是C102=45条。
这45条直线除原10点外无三条直线交于同一点,由任意两条直线交一个点,共有C452个交点。而在原来10点上有9条直线共点于此。所以,在原来点上有10C92点被重复计数;
所以这些直线交成新的点是:C452-10C92=630。
(2)这些直线所交成的三角形个数可如下求:因为每个三角形对应着三个顶点,这三个点来自上述630个点或原来的10个点。所以三角形的个数相当于从这640个点中任取三个点的组合,即C6403=43486080(个)。
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