第九届华罗庚金杯初一组二试试题及解答

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第九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛总决赛 初一组一试试题及解答 1． 下面的等式成立： ， 求 的值 解：由已知： ， 。 又 ，所以 。 因此， 或 2．滚柱轴承（如图），外圈大圆是外轴瓦，内圈小圆是内轴瓦，中间是滚柱。内轴瓦固定，转动时没有相对滑动。若外轴瓦的直径是内轴瓦的直径的1.5倍，当外轴瓦转动一周时，滚柱自转了几周？ 解。滚柱的半径= ，其中R是外轴瓦的半径，r是内轴瓦的半径。外轴瓦转动一周，它上面的每一个点的运动路程为 ，由于没有滑动，滚柱上的每一个点相对于小球求心的运动路程也是 ，滚柱自转一周，它上面的点的路程是 ，所以，滚柱自转了 （周）。 3．已知 满足： 其中记号：对于数 ， 表示不大于a的最大整数， 。 求 的值。 解：首先注意到， （1）＋（2）＋（3）得到 即 (4) （4）－（1）得到 从而 。 （4）－（2）得到 从而 ，（4）－（3）得到 因此， 故 ， ， 。 4。同小学组一试第5题。 5．n个数从第二个开始，每一个都比它前面相邻的一个大3： 4, 7, 10, ……, 1+3n。 它们相乘的积的末尾恰有32个0。求n的最小值和最大值。 解。数列中各项含有因子2的个数比因子5的个数多。连乘后尾数有32个0，所以，各项中含有因子5应有32个。 通过观察可知，在所给的一列数中，任意相继5项中恰有一项是5的倍数；任意相继25项中恰有一项是25的倍数；任意相继125项中恰有一项是125的倍数。考虑前125项的乘积。 ，所以，前125项中有25项是5的倍数，有5项是25的倍数，有1项是125的倍数。所以，前125项的乘积的末尾有 个0。 用 表示级数的第k项，那么， 所以，前127项的乘积末尾有31个0，而前128项的乘积末尾有32个0。即n的最小值是128 即n的最大值是132。 答。，n的最小值是128，最大值是132。 6．从A站到B站300千米，每30千米设一路标（如图）， 从早7:00货车开始发车，每隔5分钟从A站发出一辆开往B站，车速为每小时60千米；早8:...， 大小：8.45 MB